MATERI UKG 2013: TEORI BELAJAR DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Dalam Kisi-kisi UKG 2013, jenjang SD (027-GURU SD) ada materi uji sebagai berikut:

Kompetensi
3. Menguasai kompetensi pedagogik pembelajaran matematika SD/MI

Sub Kompetensi
3.1  Menguasai prinsip, teori dan strategi pembelajaran serta teknik asesmen yang tepat pada pembelajaran matematika

Indikator Esensial
3.1.1 Merancang aktivitas pembelajaran berdasarkan prinsip dan teori pembelajaran matematika
3.1.2 Merancang pembelajaran matematika yang menggunakan gradasi mulai representasi kongkrit, simbolik, dan abstrak agar siswa dapat mengkonstruksi pengetahuan matematika.

Sebenarnya hal tersebut pernah dipelajari di bangku kuliah, tapi alangkah baiknya kalau kita buka lagi. berikut uraian materi dari indikator tersebut. semoga bermanfaat!

1. Psikologi Perkembangan Kognitif Piaget
Kunci utama teori Piaget yang harus diketahui guru matematika yaitu bahwa perkembangan kognitif seorang siswa bergantung kepada seberapa jauh siswa dapat memanipulasi dan aktif berinteraksi dengan lingkungannya, dalam arti bagaimana ia mengaitkan antara pengetahuan yang telah dimiliki dengan pengalaman barunya. 
Menurut Piaget, ada tiga aspek pada perkembangan kognitif seseorang, yaitu: struktur, isi, dan fungsi kognitif. Struktur kognitif, skema atau skemata (schema) menurut Piaget, merupakan organisasi mental yang terbentuk pada saat seseorang berinteraksi dengan lingkungannya. Isi kognitif merupakan pola tingkah laku seseorang yang tercermin pada saat ia merespon berbagai masalah, sedangkan fungsi kognitif merupakan cara yang digunakan seseorang untuk mengembangkan tingkat intelektualnya, yang terdiri atas organisasi dan adaptasi. Dua proses yang termasuk adaptasi adalah asimilasi dan akomodasi. Pembahasan lebih rinci tentang hal ini akan dimulai dari empat tahap perkembangan kognitif berikut ini.

2.Empat Tahap Perkembangan Kognitif
Berdasarkan penelitian yang dilakukan, Piaget membagi perkembangan kognitif seseorang dari bayi sampai dewasa atas tahap seperti berikut.
0 – 2 th : Sensori Motor
2 – 7 th : Pra-operasional
7 – 11th : Operasional Konkret
11 +      : Operasional Formal

Pada tahap sensori motor (0-2 tahun) seorang anak akan belajar untuk menggunakan dan mengatur kegiatan fisik dan mental menjadi rangkaian perbuatan yang bermakna. Pada tahap ini, pemahaman anak sangat bergantung pada kegiatan (gerakan) tubuh dan alat-alat indera mereka. Contohnya ketika seorang anak
menirukan suara suatu benda maka hal itu menandakan bahwa yang ia maksud adalah benda tersebut.

Pada tahap pra-operasional (2-7 tahun), seorang anak masih sangat dipengaruhi oleh hal-hal khusus yang didapat dari pengalaman menggunakan indera, sehingga ia belum mampu untuk melihat hubungan-hubungan dan menyimpulkan sesuatu secara konsisten. Pada tahap ini, anak masih mengalami kesulitan dalam melakukan pembalikan pemikiran (reversing thought) serta masih mengalami kesulitan bernalar dari hal-hal khusus ke umum yang disebut induktif maupun dari hal umum ke hal khusus yang disebut deduktif, karena pemikirannya masih dalam tahap transduktif (transductive), yaitu suatu proses penarikan kesimpulan dari hal khusus yang satu ke hal khusus yang lain. Jika ia melihat suatu benda yang asalnya sama tapi dalam bentuk yang berbeda, maka si anak akan mengatakan bahwa benda tersebut adalah dua hal yang beda pula. Sebagai contoh, jika anak diberikan tali yang pada awalnya dibentangkan dari dua sisi yang berbeda, kemudian tali itu digenggam dan diletakkan begitu saja di atas meja, maka mereka akan mengatakan bahwa itu adalah dua tali yang berbeda.

Pada tahap operasional konkret (7-11 tahun), umumnya anak sedang menempuh pendidikan di sekolah dasar. Di tahap ini, seorang anak dapat membuat kesimpulan dari suatu situasi nyata atau dengan menggunakan benda konkret, dan mampu mempertimbangkan dua aspek dari suatu situasi nyata secara bersama-sama (misalnya, antara bentuk dan ukuran). Contohnya adalah konsep kekekalan luas dimana luas  suatu daerah akan kekal (tetap) jika daerah tersebut dibagi menjadi beberapa bagian.

Pada tahap operasional formal (lebih dari 11 tahun), kegiatan kognitif seseorang tidak mesti menggunakan benda nyata. Tahap ini merupakan tahapan terakhir dalam perkembangan kognitif. Dengan kata lain, mereka sudah mampu melakukan abstraksi, dalam arti mampu menentukan sifat atau atribut khusus sesuatu tanpa
menggunakan benda nyata. Pada permulaan tahap ini, kemampuan bernalar secara abstrak mulai meningkat, sehingga seseorang mulai mampu untuk berpikir secara deduktif. Contohnya, mereka sudah mulai mampu untuk menggunakan variabel.
Tahapan perkembangan yang dicantumkan oleh Piaget di atas dapat dijadikan salah satu rujukan guru dalam merencanakan pembelajaran. Namun kondisi para siswa Indonesia kemungkinan agak berbeda dengan siswa yang diteliti Piaget. Di samping itu, ada juga pendapat yang menyatakan bahwa bagi seseorang yang telah berada pada tahap operasional formal sekalipun, untuk hal-hal yang baru, mereka masih membutuhkan benda nyata ataupun gambar/diagram. Karenanya, faktor nyata’ atau ‘real’ pada proses pembelajaran ini akan sangat menentukan keberhasilan ataupun kegagalan pembelajaran di kelas.

3. Proses Perkembangan Kognitif
Proses perkembangan kognitif seseorang menurut Piaget harus melalui suatu proses yang disebut dengan adaptasi dan organisasi. Tanpa adanya pengalaman baru, struktur kognitif para siswa akan berada dalam keadaan equilibrium (tenang dan stabil). Jadi, perkembangan kognitif seseorang ditentukan oleh seberapa besar interaksinya dengan lingkungan (pengalaman baru) yang harus dikaitkan atau dihubungkan dengan struktur kognitif (schema) mereka, melalui proses organisasi dan adaptasi. Adaptasi sendiri terdiri atas dua proses yang dapat terjadi bersama-sama, yaitu: (1) asimilasi, suatu proses dimana suatu informasi atau pengalaman baru disesuaikan dengan kerangka kognitif yang sudah ada di benak siswa; dan (2) akomodasi, yaitu suatu proses perubahan atau pengembangan kerangka kognitif yang sudah ada di benak siswa agar sesuai dengan pengalaman yang baru dialami.

Bodner (1986:873) menyatakan bahwa istilah asimilasi dan akomodasi hanya dapat dipahami melalui konsep Piaget tentang struktur kognitif (schema). Jika fungsi kognitif seperti adaptasi dan organisasi tetap konstan selama proses perkembangan kognitif maka struktur kognitifnya akan berubah baik secara kualitas maupun kuantitas sesuai perkembangan waktu dan pengalaman. Proses asimilasi dan akomodasi ini terjadi sejak bayi. Bodner (1986:873) menunjukkan pendapat Von Glasersfeld bahwa seorang bayi yang sedang lapar lalu pipinya disentuh dengan jari maka ia akan berusaha untuk menghisap jari itu. Von Glasersfeld menyatakakan bahwa bayi itu menganggap (mengasimilasi) bahwa jari itu adalah puting susu ibunya. Karena itu Bodner (1986:873) menyatakan: “Assimilation involves applying a preexisting schema or mental structure to interpret sensor data.” Artinya, proses asimilasi melibatkan penggunaan struktur, skemata, atau skema untuk menginterpretasi. Karena itu, Bodner (1986:873) juga menyatakan: “Piaget argued that knowledge is constructed as the learner strives to organize his or her experiences in terms of preexisting mental structure or schema.” Artinya, Piaget berargumentasi bahwa pengetahuan terbangun disaat siswa berusaha untuk mengorganisasikan pengalamannya sesuai dengan struktur kognitif yang dimilikinya.

4. Faktor yang Mempengaruhi Perkembangan Kognitif
Piaget menjelaskan bahwa perkembangan kognitif seseorang dipengaruhi oleh empat hal berikut.

1). Kematangan (maturation) otak dan sistem syarafnya. Kematangan otak dan sistem syaraf sangat penting dimiliki setiap siswa. Siswa yang memiliki ketidaksempurna an yang berkait dengan kematangan ini, sedikit banyak akan mengurangi kemampuan dan perkembangan kognitifnya. Karena itu, penting sekali bagi orang tua untuk membesarkan putera-puterinya dengan makanan bergizi dan kasih sayang yang cukup, sehingga putera-puteri tersebut akan memiliki kematangan otak dan sistem syaraf yang sempurna.

2). Pengalaman (experience) yang terdiri atas:
a) Pengalaman fisik (physical experience), yaitu interaksi manusia dengan lingkungannya. Contohnya adalah interaksi seorang siswa dengan kumpulan batu yang ia tata.
b) Pengalaman logika-matematis (logico-mathematical experience), yaitu kegiatankegiatan pikiran yang dilakukan manusia. Contohnya, siswa menata kumpulan batu sambil belajar membilang. Dapat juga ketika siswa mulai berpikir bahwa suatu kumpulan lebih banyak dari kumpulan yang lain. Bayangkan jika ada anak yang tidak diberi kesempatan untuk berinteraksi dengan lingkungannya. Apa yang akan terjadi dengan perkembangan kognitif si anak tersebut? Jelaslah bahwa berinteraksi seorang anak dengan lingkungannya akan memperngaruhi perkembangan kognitif mereka.

3). Transmisi sosial (social transmission), yaitu interaksi dan kerjasama yang dilakukan oleh manusia dengan orang lain. Mengapa seorang anak Indonesia yang dilahirkan di lingkungan yang selalu berbahasa Arab dan selalu berinteraksi dengan bahasa Arab  akan menyebabkan ia mahir berbahasa Arab?  Jawabannya adalah adanya faktor transmisi sosial tersebut. Seorang anak yang dilahirkan di suatu keluarga yang lebih mengutamakan penalaran (reasoning) akan menghasilkan anak-anak yang lebih mengutamakan kemampuan penalaran ketika memecahkan masalah.

4). Penyeimbangan (equilibration), suatu proses, sebagai akibat ditemuinya pengalaman (informasi) baru, seperti ditunjukkan pada diagram Piaget di atas. Seorang anak yang sejatinya berbakat untuk mempelajari matematika, namun karena ia tidak mendapat tantangan yang cukup, maka perkembangan kognitifnya akan terhambat. 
5. Belajar Bermakna David P. Ausubel
Mengapa sebagian siswa ada yang dapat mengerjakan soal ketika ia belajar di kelas, namun ia tidak dapat mengerjakan soal itu beberapa hari kemudian? Apa hal tersebut disebabkan siswa belajar dengan cara menghafal?

Perhatikan kisah Nani di bawah ini. Apa yang dapat Anda katakan tentang cara belajar Nani? Apa kelemahannya? Adakah kelebihannya?

Nani, seorang anak kecil bertanya pada ayahnya. Bagaikan seorang guru, Nani
mengajukan pertanyaan sehingga terjadi percakapan sebagai berikut.
Nani (N): “Ayah, dua ditambah dua ada berapa? Ayo …!”
Ayah (A): “Menurut Nani?”
N: “Ayah dulu.”
A: “Ya. Ya. Dua tambah dua sama dengan empat.”
N: “Betul.” Ia berlagak seperti guru yang membenarkan jawaban siswanya.
A: “Tahu dari mana bahwa dua tambah dua sama dengan empat?”
N: “Dari Ari. Ari tahu dari bapaknya.”
A: “Nani percaya?”
N: “Ya. Bapaknya Ari kan pintar.”
A: “Mengapa dua tambah dua sama dengan empat?”
N: “Ya karena dua tambah dua sama dengan empat.”
A: “Kalau satu tambah dua?”
N: “Nani belum tahu.”
A: “Mengapa?”
N: “Ari belum memberi tahu. Mungkin bapaknya belum mengajarinya.”
A: “Kalau satu tambah satu?”
N: “Dua.”
A: “Yang benar?”
N: “Tiga … tiga … tiga … .”
A: “Yang benar. Masak tiga.”
N: “Empat … empat … ! Lima …! Tujuh … tujuh … . Kalau begitu berapa?”
A: “Ya dua.”
N: “Tadi Nani kan sudah bilang dua. E … Ayah bohong ya.”

Teori belajar Ausubel menitikberatkan pada bagaimana seseorang memperoleh pengetahuannya. Menurut Ausubel terdapat dua jenis belajar yaitu belajar hafalan (rote-learning) dan belajar bermakna (meaningful-learning). Menurut Anda, proses pembelajaran yang dilakukan Nani termasuk belajar hafalan (rote-learning) ataukah belajar bermakna (meaningful-learning)? Mengapa? Lalu apa pengertian belajar hafalan? Apa pengertian belajar bermakna (meaningful-learning)?
a. Belajar Hafalan
Ausubel menyatakan hal berikut sebagaimana dikutip Bell (1978) mengenai belajar hafalan (rote-learning): “… , if the learner’s intention is to memorise it verbatim, i.e., as a series of arbitrarily related word, both the learning process and the learning outcome must necessarily be rote and meaningless” (p.132). Jika seorang
siswa berkeinginan untuk mengingat sesuatu tanpa mengaitkan dengan hal yang lain maka baik proses maupun hasil pembelajarannya dapat dinyatakan sebagai hafalan (rote) dan tidak akan bermakna (meaningless) sama sekali baginya. Contoh belajar hafalan yang paling jelas terjadi sebagaimana kisah Nani di atas, yang dapat menjawab soal penjumlahan 2 + 2 ataupun 1 + 1 dengan benar. Namun ketika ia ditanya bapaknya mengapa 2 + 2 = 4?, ia-pun hanya menjawab: ”Ya karena 2 + 2 =4,” tanpa alasan yang jelas. Artinya, Nani hanya meniru pada apa yang diucapkan teman sebayanya. Tidaklah salah jika ada orang yang lalu menyatakan bahwa Nani telah belajar dengan membeo. Mengacu pada pendapat Ausubel di atas, contoh ini menunjukkan bahwa Nani hanya belajar hafalan dan belum termasuk berlajar bermakna. Alasannya, ia hanya mengingat sesuatu tanpa mengaitkan hal yang satu dengan hal yang lain, baik ketika proses pembelajaran terjadi maupun pada hasil pembelajarannya ketika ia ditanya bapaknya, sehingga Nani dapat dinyatakan sebagai belajar hafalan (rote) dan belum belajar bermakna (meaningless).

Seperti halnya seekor burung beo yang dapat menirukan ucapan tertentu namun sama sekali tidak mengerti isi ucapannya tersebut, maka seperti itulah Nani yang dapat menjawab bahwa 2 + 2 adalah 4 dengan benar namun ia sama sekali tidak tahu arti 2 + 2 dan tidak tahu juga mengapa hasilnya harus 4. Jika Ari, temannya, menyatakan 2 + 3 = 5 maka sangat besar kemungkinannya jika Nani akan mengikutinya. Cara belajar dengan membeo seperti yang telah dilakukan Nani tadi oleh David P Ausubel (Orton, 1987) disebut dengan belajar hafalan (rote learning). Salah satu kelemahan dari belajar hafalan atau belajar membeo telah ditunjukkan Nani ketika ia tidak memiliki dasar yang kokoh dan kuat untuk mengembangkan pengetahuannya tersebut. Ia tidak bisa menjawab soal baru seperti 1 + 2 maupun 2 + 1 jika belum ada yang mengajari hal tersebut. Karena itu, dapat terjadi bahwa sebagian siswa ada yang dapat mengerjakan soal ketika ia belajar di kelas, namun ia tidak dapat lagi mengerjakan soal yang sama setelah beberapa hari kemudian jika proses pembelajarannya hanya mengandalkan pada kemampuan mengingat saja seperti yang
dilakukan Nani di atas. Sesuatu yang dihafal akan cepat dan mudah hilang, namun sesuatu yang dimengerti akan tertanam kuat di benak siswa. Materi dalam pelajaran matematika bukanlah pengetahuan yang terpisah-pisah namun merupakan satu kesatuan, sehingga pengetahuan yang satu dapat berkait dengan pengetahuan yang lain. Seorang anak tidak akan mengerti penjumlahan dua bilangan jika ia tidak tahu arti dari “1” maupun “2”. Ia harus tahu bahwa “1” menunjuk pada banyaknya sesuatu yang tunggal seperti banyaknya kepala, mulut, lidah dan seterusnya; sedangkan “2” menunjuk pada banyaknya sesuatu yang berpasangan seperti banyaknya mata, telinga, kaki, … dan seterusnya. Sering terjadi, anak kecil salah menghitung sesuatu. Tangannya masih ada di batu ke-4 namun ia sudah mengucapkan “lima” atau malah “enam”. Kesalahan kecil seperti ini akan berakibat pada kesalahan menjumlah dua bilangan. Hal yang lebih parah akan terjadi jika ia masih sering meloncat-loncat di saat membilang dari satu sampai sepuluh.

b. Belajar Bermakna
Perhatikan tiga bilangan berikut.
(1) 89.107.145
(2) 54.918.071
(3) 17.081.945
Manakah bilangan yang paling mudah dan paling sulit diingat siswa? Apakah untuk dapat mengingat bilangan-bilangan di atas perlu dikaitkan dengan hal tertentu yang sudah dimengerti siswa? Bagaimana merancang pembelajaran matematika yang bermakna?

Beberapa pertanyaan yang dapat diajukan adalah: Mengapa bagi sebagian siswa diIndonesia, bilangan ketiga, yaitu 17.081.945, merupakan bilangan yang paling mudah diingat? Mengapa bilangan kedua yaitu 54.918.071 merupakan bilangan yang paling mudah diingat berikutnya? Mengapa bilangan pertama yaitu 89.107.145 merupakan bilangan yang paling sulit diingat atau dipelajari? Bilangan ketiga, yaitu 17.081.945 merupakan bilangan yang paling mudah diingat hanya jika bilangan tersebut dikaitkan dengan tanggal Kemerdekaan RI yang jatuh pada 17 Agustus 1945 (atau 17-08-1945). Namun bilangan ketiga tersebut, yaitu 17.081.945 akan sulit diingat (dipelajari) jika bilangan itu tidak dikaitkan dengan tanggal Kemerdekaan RI pada 17 Agustus 1945. Jadi, proses pembelajaran dimana kita dapat mengaitkan suatu pengetahuan yang baru (dalam hal ini bilangan 17.081.945) dengan pengetahuan yang lama (dalam hal ini 17-08-1945, yaitu tanggal Kemerdekaan RI 17 Agustus 1945) seperti itulah yang disebut dengan pembelajaran bermakna dan hasilnya diharapkan akan tersimpan lama.
Misalkan saja Anda diminta untuk membantu siswa Anda untuk mengingat bilangan kedua, yaitu 54.918.071. Anda dapat saja meminta setiap siswa untuk mengulangulang menyebutkan bilangan di atas sehingga mereka hafal, maka proses pembelajarannya disebut dengan belajar membeo atau belajar hafalan seperti sudah dibahas pada bagian sebelumnya. Sebagai akibatnya, bilangan tersebut akan cepat hilang jika tidak diulang-ulang lagi. Bagaimana proses menghafal bilangan kedua, yaitu 54.918.071 agar menjadi bermakna? Yang perlu diperhatikan adalah adanya hubungan antara bilangan kedua dengan bilangan ketiga. Bilangan kedua bisa didapat dari bilangan ketiga namun dengan menuliskannya dengan urutan terbalik. Jadi, agar proses mengingat bilangan kedua dapat bermakna, maka proses mengingat bilangan kedua (yang baru) harus dikaitkan dengan pengetahuan yang sudah dimiliki, yaitu tentang 17-08-1945 akan tetapi dengan membalik urutan penulisannya menjadi 5491-80-71.
Untuk bilangan pertama, yaitu 89.107.145. Bilangan ini hanya akan bermakna jika bilangan itu dapat dikaitkan dengan pengetahuan yang sudah ada di dalam pikiran kita. Contohnya jika bilangan itu berkait dengan nomor telepon atau nomor lain yang dapat kita kaitkan. Tugas guru adalah membantu memfasilitasi siswa sehingga bilangan pertama tersebut dapat dikaitkan dengan pengetahuan yang sudah dimilikinya. Jika seorang siswa tidak dapat mengaitkan antara pengetahuan yang baru dengan pengetahuan yang sudah dimiliki siswa, maka proses pembelajarannya disebut dengan belajar yang tidak bermakna (rote learning). 

Berdasar contoh di atas, dapatlah disimpulkan bahwa suatu proses pembelajaran akan lebih mudah dipelajari
dan dipahami para siswa jika guru mampu untuk memberi kemudahan bagi siswanya sedemikian sehingga siswa dapat mengaitkan pengetahuan yang baru dengan pengetahuan yang sudah dimilikinya. Itulah inti dari belajar bermakna (meaningful learning) yang telah digagas David P Ausubel.

Dari apa yang dipaparkan di atas jelaslah bahwa untuk dapat menguasai materi matematika, seorang siswa harus menguasai beberapa kemampuan dasar lebih dahulu. Setelah itu, siswa harus mampu mengaitkan antara pengetahuan yang baru dengan pengetahuan yang sudah dipunyainya. Ausubel menyatakan hal berikut
sebagaimana dikutip Orton (1987:34): “If I had to reduce all of educational psychology to just one principle, I would say this: The most important single factor influencing learning is what the learner already knows. Ascertain this and teach him accordingly.” Jelaslah, menurut Ausubel, bahwa pengetahuan yang sudah dimiliki siswa akan sangat penentukan berhasil tidaknya suatu proses pembelajaran.

Disamping itu, seorang guru dituntut untuk mengecek, mengingatkan kembali ataupun memperbaiki pengetahuan prasyarat siswanya sebelum ia memulai membahas topik baru, sehingga pengetahuan yang baru tersebut dapat berkait dengan pengetahuan yang lama yang lebih dikenal sebagai belajar bermakna tersebut.

6. Teori Belajar Bruner
Berbeda dengan Teori Belajar Piaget yang telah membagi perkembangan kognitif seseorang atas empat tahap berdasar umurnya, maka Bruner membagi penyajian proses pembelajaran dalam tiga tahap, yaitu tahap enaktif, ikonik dan simbolik. Di samping itu, Bruner juga membahas teori-teori tentang cara belajar dan mengajar matematika. Bruner menekankan suatu proses bagaimana seseorang memilih, mempertahankan, dan mentransformasi informasi secara aktif. Proses tersebut merupakan inti utama dari belajar. Oleh karenanya Bruner memusatkan perhatian pada masalah apa yang dilakukan manusia terhadap informasi yang menurut Bruner, ada tiga tahap belajar, yaitu enaktif, ikonik dan simbolik. Di samping itu, Bruner juga membahas teori-teori tentang cara belajar dan mengajar matematika. Bruner menekankan suatu proses bagaimana seseorang memilih, mempertahankan, dan mentransformasi informasi secara aktif. Proses tersebut merupakan inti utama dari belajar. Oleh karenanya Bruner memusatkan perhatian pada masalah apa yang dilakukan manusia terhadap informasi yang diterimanya dan apa yang dilakukan setelah menerima informasi tersebut untuk pemahaman dirinya.

a. Tiga Tahap Proses Belajar
Teori Bruner tentang tiga tahap proses belajar berkait dengan tiga tahap yang harus dilalui siswa agar proses pembelajarannya menjadi optimal, sehingga akan terjadi internalisasi pada diri siswa, yaitu suatu keadaan dimana pengalaman yang baru dapat menyatu ke dalam struktur kognitif mereka. Ketiga tahap pada proses belajar tersebut adalah:

1) Tahap Enaktif. 
Para siswa mempelajari matematika dengan menggunakan sesuatu yang “konkret” atau “nyata”, yang berarti dapat diamati dengan menggunakan panca indera. Contohnya, ketika akan membahas penjumlahan dan pengurangan di awal pembelajaran, siswa dapat belajar dengan menggunakan batu, kelereng, buah, lidi, atau dapat juga memanfaatkan beberapa model atau alat peraga lainnya. Ketika belajar penjumlahan dua bilangan bulat, para siswa dapat saja memulai proses pembelajarannya dengan menggunakan beberapa benda nyata sebagai “jembatan”.

Garis bilangan dalam bentuk dua bilah papan.

Semacam koin dari plastik dengan tanda “+” dan “–“.
Dengan cara ini, diharapkan siswa akan lebih mudah mempelajari materi yang diberikan. Dengan demikian cara pembelajaran matematika adalah memulai dengan sesuatu yang benar-benar konkret dalam arti dapat diamati dengan menggunakan panca indera.

2) Tahap Ikonik. 
Para siswa sudah dapat mempelajari suatu pengetahuan dalam bentuk gambar atau diagram sebagai perwujudan dari kegiatan yang menggunakan benda konkret atau nyata. Sebagai contoh, dalam proses pembelajaran penjumlahan dua bilangan bulat dimulai dengan menggunakan benda nyata berupa garis bilangan sebagai “jembatan”, maka tahap ikonik untuk 5 + (–3) = 2 dapat berupa gambar atau diagram.

3) Tahap Simbolik. 
Tahap simbolik adalah tahap dimana pengetahuan tersebut diwujudkan dalam bentuk simbol-simbol abstrak. Dengan kata lain, siswa harus mengalami proses abstraksi dan idealisasi. Proses abstraksi terjadi pada saat seseorang menyadari adanya kesamaan di atara per bedaan-perbedaan yang ada (Cooney dan Henderson, 1975). Perbedaan yang terjadi saat menentukan hasil dari 2 + 3 ataupun 3 + 4 baik pada tahap enaktif maupun ikonik merupakan proses abstraksi yang terjadi dikarenakan siswa menyadari adanya kesamaan gerakan yang dilakukannya, yaitu ia akan bergerak dua kali ke kanan. Dengan bantuan guru, siswa diharapkan dapat menyimpulkan bahwa penjumlahan dua bilangan positif akan menghasilkan bilangan positif pula. Tidaklah mungkin hasil penjumlahan dua bilangan positif akan berupa bilangan negatif.

Melalui proses abstraksi yang serupa, pikiran siswa dibantu untuk memahami bahwa penjumlahan dua bilangan negatif akan menghasilkan bilangan negatif juga. Karena dua kali pergerakan ke kiri akan menghasilkan suatu titik yang terletak beberapa langkah di sebelah kiri titik awal 0. Melalui proses ini, siswa juga dapat memahami bahwa jika 2 + 3 = 5 maka −2 + (−3) = −5. Dengan demikian siswa dapat dengan
mudah menentukan −100 + (−200) = −300 karena 100 + 200 = 300 dan −537 + (−298) = −835 karena 537 + 298 = 835. Pada intinya, menentukan penjumlahan dua bilangan negatif adalah sama dengan menentukan penjumlahan dua bilangan positif, hanya tanda dari hasil penjumlahannya haruslah negatif.

Proses abstraksi yang lebih sulit akan terjadi pada penjumlahan dua bilangan bulat yang tandanya berbeda, hasilnya bisa positif dan bisa juga negatif, tergantung pada seberapa jauh perbedaan gerakan ke kiri dengan gerakan ke kanan. Guru dapat meyakinkan siswanya bahwa hasil penjumlahan dua bilangan yang tandanya berbeda akan didapat dari selisih atau beda kedua bilangan tersebut tanpa melihat tandanya.

b. Empat Teori Belajar dan Mengajar
Meskipun pepatah Cina menyatakan “Satu gambar sama nilainya dengan seribu kata”, namun menurut Bruner, pembelajaran sebaiknya dimulai dengan menggunakan benda nyata lebih dahulu. Karenanya, seorang guru ketika mengajar matematika hendaknya menggunakan model atau benda nyata untuk topik-topik tertentu yang dapat membantu pemahaman siswanya. Bruner mengembangkan empat teori yang terkait dengan asas peragaan, yakni:

1) Teori konstruksi menyatakan bahwa siswa lebih mudah memahami ide-ide abstrak dengan menggunakan peragaan kongkret (enactive) dilanjutkan ke tahap semi kongkret (iconic) dan diakhiri dengan tahap abstrak (symbolic). Dengan menggunakan tiga tahap tersebut, siswa dapat mengkonstruksi suatu representasi dari konsep atau prinsip yang sedang dipelajari. 

2) Teori notasi menyatakan bahwa simbol-simbol abstrak harus dikenalkan secara bertahap, sesuai dengan tingkat perkembangan kognitifnya. Sebagai contoh: 
a). Notasi 3.2 dapat dikaitkan dengan 3.2 tablet.
b) Soal seperti ... + 4 = 7 dapat diartikan sebagai menentukan bilangan yang kalau ditambah 4 akan menghasilkan 7. Notasi yang baru adalah 7 −􀀀4 = ... .

3) Teori kekontrasan atau variasi menyatakan bahwa konsep matematika dikembangkan melalui beberapa contoh dan bukan contoh .

4) Teori konektivitas menyatakan bahwa konsep tertentu harus dikaitkan dengan konsep-konsep lain yang relevan. Sebagai contoh, perkalian dikaitkan dengan luas persegi panjang dan penguadratan dikaitkan dengan luas persegi. Penarikan akar pangkat dua dikaitkan dengan menentukan panjang sisi suatu persegi jika luasnya diketahui.

Lebih lanjut, berbagai jenis kegiatan dalam pembelajaran yang menerapkan teoriteori Bruner dapat diwujudkan dalam berbagai kegiatan seperti yang dikemuka- kan oleh Edgar Dale dalam bukunya “Audio Visual Methods in Teaching” sebagaimana dikutip Heinich, Molenda, dan Russell (1985:4) sebagai berikut.

1) Pengalaman langsung. Artinya, siswa diminta untuk mengalami, berbuat sendiri dan mengolah, serta merenungkan apa yang dikerjakan. 

2) Pengalaman yang diatur. Sebagai contoh dalam membicarakan sesuatu benda, jika benda tersebut terlalu besar atau kecil, atau tidak dapat dihadirkan di kelas maka benda tersebut dapat diragakan dengan model. Contohnya: peta, gambar bendabenda yang tidak mungkin dihadirkan di kelas, model kubus, dan kerangka balok,

3) Dramatisasi. Misalnya: permainan peran, sandiwara boneka yang bisa digerakkan ke kanan atau ke kiri pada garis bilangan.

4) Demonstrasi. Biasanya dilakukan dengan menggunakan alat-alat bantu seperti papan tulis, papan flanel, OHP dan program komputer. Banyak topik dalam pembelajaran matematika di SD yang dapat diajarkan melalui demonstrasi, misalnya: penjumlahan, pengurangan, dan pecahan.

5) Karyawisata. Kegiatan ini sebenarnya sangat baik untuk menjadikan matematika sebagai atau menjadi pelajaran yang disenangi siswa. Kegiatan yang diprogramkan dengan melibatkan penerapan konsep matematika seperti mengukur tinggi objek secara tidak langsung, mengukur lebar sungai, mendata kecenderungan kejadian dan realitas yang ada di lingkungan merupakan kegiatan yang sangat menarik dan sangat bermakna bagi siswa serta bagi daya tarik pelajaran matematika di kalangan siswa.

6) Pameran. Pameran adalah usaha menyajikan berbagai bentuk model-model kongkret yang dapat digunakan untuk membantu memahami konsep matematika dengan cara yang menarik. Berbagai bentuk permainan matematika ternyata dapat menyedot perhatian siswa untuk mencobanya, sehingga jenis kegiatan ini juga cukup bermakna untuk diterapkan dalam pembelajaran matematika.

7) Televisi sebagai alat peragaan. Program pendidikan matematika yang disiarkan melalui media TV juga merupakan alternatif yang sangat baik untuk pembelajaran matematika.

8) Film sebagai alat peraga

9) Gambar sebagai alat peraga
Dengan demikian jelaslah bahwa asas peragaan dalam bentuk enaktif dan ikonik selama pembelajaran matematika adalah sangat penting untuk meningkatkan pemahaman dan daya tarik siswa dalam mempelajari matematika sebelum mereka menggunakan bentuk-bentuk simbolik.

Dari berbagai sumber